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【数学】円周率の本質に迫る!あなたが勉強した「円」は〇じゃない⁉

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今回は現役理系大学院生による数学ネタです。

 

この記事タイトルをどうするか迷ったんですよね~(笑)。「あなたが勉強したのは円じゃない⁉」にしたら日本円の「円」が想像できて、投資とか為替取引の記事だと思われるじゃないですか。

自分そこまで意識高げというか頭良さげな記事は書けないんで…

 

だから本当は「円」と言いたいところを「丸」としたんですが、左バッターで、大胆なオープンスタンスが特徴的で、ポジションは外野手、広島カープに所属していたが、今期のオフに巨人にトレードされた選手。を想像した方は僕と話が合いそうな気がします(笑)。

 

あ、いい感じにタイトルが決まりました!

 

はい、こんな茶番はここまでにして、円(〇)の話です。

そもそも円周率ってなに?

皆さんは円周率というものを知っていますか?円の面積とか円周を求める際に必要な数字ですよね。

(円の面積)=(半径)×(半径)×(円周率)  ・・・①
(円周)=2×(半径)×(円周率)=(直径)×(円周率)  ・・・②

で、この数字どのくらいか知ってます?

僕と同じ世代の人は3.14で習ったと思います。さらにゆとり世代では円周率=3で習ったとか。

 

ただ、円周率が3.14かとか3かとかどうでもいいんです。それは所詮円じゃないから!

円周率が3.14っていう数字だと思っている人はヤバいです。何にもわかってない。まあ、その人が悪いんじゃなくてそれを教えてない小学校の先生が悪いんですけどね。

 

円周率とは円周と直径の比です。具体的には(円周)÷(直径)が円周率です。上の②の式を式変形したら容易に導けます。これを知っていないと何の意味もない。

「円周と直径の比が円周率と呼ばれる数字でそれがだいたい3.14くらいになる」

という事実が大切なんです。それが円周率の本質的な意味で、数学を勉強する意味だと思います。

それをすっとばして円周率は3.14っていう数字だよ~って教えている小学校の先生はヤバい。数字を知っていてもその意味を知っていないと何の意味もないです。

それだから「数学って勉強して何のためになるんですか~」とか言われる。そして、その先生はこの問いに対する答えを持ち合わせていないでしょうね。

円周率を100桁暗記してるけど、円周率って何なの?って聞かれたらわからないって答える人は変でしょ?滑稽でしょ?でも、3.14だけ覚えていて円周率の意味を知らない人も同様に滑稽だと思いますよ?100桁か3桁かの違いだけで本質的には同じですから。

 

と、まあ、小学校の先生の悪口はここまでにして、いろんな図形の円周率を考えてみたいと思います。正確には円ではないので円周率と呼ぶのは間違いかもしれませんが。

多角形の円周率を考えてみよう

※ここから簡単な算数をします。数学アレルギーの方は下の結論だけご覧ください。

まず簡単に正六角形を考えます。これですね。ベンゼン環の形です。

f:id:BryanKintore:20190216113209p:plain

  1. n角形の内角の和は180(n-2)で表されるので(中3くらいで習います)、六角形の内角の和は180°×(6-2)=720°。正六角形では6個の角があるから1つ当たり720÷6=120°。
  2. 各頂点から中心に向かって線を引く。その結果、三角形が6つできる。その中心角は6個あり、6個で一周分=360°になるので、1つ当たりの中心角は360÷6=60°。
  3. 各頂点から中心に引いた線は半径にあたるのですべて長さは等しい。したがって、この三角形は二等辺三角形。中心角が60°なので底辺の角はそれぞれ(180-60)÷2=60°。(二等辺三角形の底角はそれぞれ等しい。)したがって、6つの三角形はすべて正三角形!
  4. 正六角形の一辺の長さを1とすると、直径は1+1=2。

f:id:BryanKintore:20190216122540p:plain
ここから円周率=(円周)÷(直径)は(1×6)÷2=3。

 

結論!

円周率3なら正六角形にしかならん!

 

なるほど、円周率が3と習ったゆとり世代は正六角形を円だと思い込んで、学習していたんですね。皆が円だ円だと思っていた図形は実際はただの正六角形。悲しいですね…

 

で、3.14か何か知りませんが、あなたが覚えている円周率は何角形になるんでしょうか。

 

※ここからはかなりの数学マニアでしか興味ないし、読まないと思うので計算過程は端折ります。また、計算が面倒なので偶数角形を想定させてください。(直径が中心をと通るという仮定を使いたいので。)

 

で、計算した結果がこちらです。

 (円周率) = n×sin(180/n)     (nは偶数)
エクセルで計算させると

円周÷直径
42.82842712
63
83.06146746
103.09016994
123.10582854
143.11529308
163.12144515
183.1256672
203.1286893
223.13092644
243.13262861
263.13395369
283.13500533
303.1358539
323.13654849
343.13712422
363.13760674
383.13801513
403.13836383
423.13866393
443.13892406
463.13915101
483.1393502
503.13952598
523.13968187
543.13982076
563.13994505
583.1400567
603.14015737
623.14024847
643.14033116
663.14040644
683.14047519
703.14053812
723.14059589
743.14064904
763.14069804
783.14074333
803.14078526
823.14082416
843.14086032
863.14089398
883.14092538
903.1409547
923.14098214
943.14100784
963.14103195
983.1410546
1003.14107591

 

円周率 多角形
円周率と正n角形の関係

 

すなわち、円周率が3.14といっても所詮、正五十八角形でしかないということですね。

 

グラフでもnが大きくなる毎に円周率=3.14159265358976…に近づいていくことがわかります。正千角形では3.14158…となるので小数第四位まで一致しています。

nが大きくなっていく毎に図形の角が小さくなっていって(角が取れていって)、円に近くなるんです。

円周率が3か3.14かは本質じゃない

よくいるじゃないですか、「お前の世代は円周率が3だろ?ゆとりだね~」みたいに嫌味言ってくる人。ゆとり教育を決めたのは上の世代の人でどっちかというと我々は被害者なんですけどね。

その人にはこういってやりましょう。

「あなたは3.14で勉強したんでしょ。それって所詮正五十八角形でしかないですよ。円じゃないのに円だと思い込んで勉強したんですね。悲しいですね~」って。

 

円周率を何桁で勉強したかではなくて、円周率の本質を知って、このように円周率の近似計算ができる方がよっぽど重要だと思います。そこに数学の本質がある気がします。

 

小難しい話でしたが、ここまで読んでいただきありがとうございました。

 

追記:円周率が3.14に最も近くなるのは正五十七角形らしいです。でも、これ対角線が中心を通らないから計算がめんどくさいんですよ(笑)。もし興味があれば計算してみてください。

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円周率 意味
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